BZOJ 4816 数字表格 - c++编程基础

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BZOJ 4816 数字表格

2017-10-12 18:16:05 【大中小】浏览:6158次

Tags：BZOJ 4816 数字表格

首先是惯例的吐槽。SDOI题目名称是一个循环，题目内容也是一个循环，基本上过几年就把之前的题目换成另一个名字出出来，喜大普奔亦可赛艇。学长说考SDOI可以考出联赛分数，%%%。

下面放解题报告。并不喜欢打莫比鸟斯的解题报告就是因为公式编辑太鬼。

不知道多少分算法：简单模拟不解释。

正解一眼是莫比鸟斯函数，话说上次考莫比鸟斯就是去年吧，好像题目名也叫数字表格，只不过多了一个前缀"Crash的"。

慢慢推吧，这里公式编辑器好像坏了？雾,贼慢。

假设n<=m;(if(n>m)swap(n,m);)

老套路，枚举(i,j)，看被算了多少次。

$\prod_{d=1}^{n}\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{m}f[d]*[gcd(i,j)=d]$

//好像不是严格意义上的布尔表达式？差不多就是这个意思吧。

然后提前+替换,变成了

$\prod_{d=1}^{n}f[d]^{\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor}[gcd(i,j)=1]}$

然后上面那一堆东西就是喜闻乐见的莫比鸟斯函数优化

变成这样一个鬼样子

$\prod_{d=1}^{n}f[d]^{\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}\mu (i)*\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor \left \lfloor \frac{m}{i} \right \rfloor}$

上面那堆就是喜闻乐见的数论分块搞搞。

然后注意到其实下面这一段也可以分块... ...

还是要解释一下：

把指数那一堆设为Get(nn,mm),可以用数论分块算出来。

然后原式就变成了

$\prod_{i = 1}^{n} \prod_{j = 1}^{m} f ((i, j))$

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define LL long long
using namespace std;

const int N = 1000010;
const int Mod = 1000000007;
const int Nmod = Mod-1;
int n,m,f[N],miu[N],vis[N],P[N/10],tot,Ny[N];
int map[5010][5010];
LL Ans,ans;

inline int gi()
{
    int  x=0,res=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-')res=-res;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*res;
}

inline int QPow(int d,int z)
{
    int _ans=1;
    for(;z;z>>=1,d=(LL)d*d%Mod)
        if(z&1)_ans=(LL)_ans*d%Mod;
    return _ans;
}

inline void pre()
{
    f[1]=1;
    for(int i=2;i<N;++i){
        f[i]=f[i-1]+f[i-2];
        if(f[i]>=Mod)f[i]-=Mod;
    }
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<N;++i)
        f[i]=(LL)f[i]*f[i-1]%Mod;
	for(int i=0;i<N;++i)
		Ny[i]=QPow(f[i],Mod-2);
}

inline void shai()
{
    miu[1]=1;
    for(int i=2;i<N;++i){
        if(!vis[i])P[++tot]=i,miu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=tot;++j){
            int Inc=i*P[j];
            if(Inc>=N)break;
            vis[Inc]=1;
            if(i%P[j]==0)break;
            miu[Inc]=-miu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=N;++i)
        miu[i]=miu[i-1]+miu[i];
}

inline int Get(int nn,int mm)
{
	if(nn<=5000 && mm<=5000)
	  if(map[nn][mm])return map[nn][mm];
    ans=0;
    for(int l=1,r;l<=nn;l=r+1){
        r=min(nn/(nn/l),mm/(mm/l));
        ans+=1ll*(miu[r]-miu[l-1])*(nn/l)*(mm/l);
    }
	ans%=Nmod;
	if(nn<=5000 && mm<=5000)map[nn][mm]=ans;
    return ans;
}

int main()
{
    pre();shai();int T=gi();
    while(T--){
        Ans=1;n=gi();m=gi();if(n>m)swap(n,m);
        for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){
            r=min(n/(n/l),m/(m/l));
            Ans=1ll*Ans*QPow(1ll*f[r]*Ny[l-1]%Mod,Get(n/l,m/l))%Mod;
        }
        printf("%lld\n",Ans);
    }
    return 0;
}


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