CF链接：Almost Identity Permutations

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$ {\scr \color {Cyan}{\text{Solution}}} $

前言

这好像是一道能用数学秒掉的题目

但由于我喜欢DP过菜，我们用DP来解决这个问题

分析

$ dp[i][j] $ 表示在 $ i $ 个数里有 $ j $ 个数位置满足 $ a[i]==i $

答案很简单，就是$\sum_{i=n-k}^{n} dp[n][i]$

接下来考虑状态如何转移

$ dp[i][j] $ 可以由 $ dp[i-1][j],dp[i-1][j-1],dp[i-1][j+1] $ 转移而来

• 从 $ dp[i?1][j?1] $ 转移，我们可以直接把新增的数放到增加的位置上去就可以了；
• 从 $ dp[i?1][j] $ 转移，新增的数不能放到自己的位置上，且必须要和$ i-1-j $个其他的数字交换位置；
• 从 $ dp[i-1][j+1] $转移，那么新增的数字和原先在自己位置上的数字（j+1种）可以进行交换（因为现在多了一个，所以要减少一个）；

边界也要稍稍注意一下

$ j=0 $时，并没有$ dp[i-1][j-1]$

同理，$ i=j $时，直接为$ 1 $

诶，做完了

Code:

//From:201929
#include<bits/stdc++.h>
#define L long long
using namespace std;
L dp[1005][1005];
int main()
{
    int n,k;
    scanf("%d%d",&n,&k);
    dp[4][4]=1,dp[4][3]=0,dp[4][2]=6,dp[4][1]=8,dp[4][0]=9;
    for(int i=5;i<=n;i++)
    for(int j=0;j<=i;j++)
    if(j==0) dp[i][j]=(i-1)*dp[i-1][j]+dp[i-1][1];
    else if(j==i) dp[i][j]=1;
    else dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+(i-1-j)*dp[i-1][j]+(j+1)*dp[i-1][j+1];
    L ans=0;
    for(int i=n-k;i<=n;i++) ans+=dp[n][i];
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}