最近工作中碰到一个需求：我们的数据表有多个维度，任意多个维度组合后进行 group by 可能会产生一些”奇妙”的反应，由于不确定怎么组合，就需要将所有的组合都列出来进行尝试。

抽象一下就是从一个集合中取出任意元素，形成唯一的组合。如 [a,b,c] 可组合为 [a]、[b]、[c]、[ab]、[bc]、[ac]、[abc]。

要求如下：

看到这里，就应该想到高中所学习的排列组合了，同样是从集合中取出元素形成一个另一个集合，如果集合内元素位置随意，就是组合，从 b 个元素中取 a 个元素的组合有 种。而如果要求元素顺序不同也视为不同集合的话，就是排列，从 m 个元素取 n 个元素的排列有 种。

我遇到的这个需求就是典型的组合，用公式来表示就是从元素个数为 n 的集合中列出 种组合。

文中算法用 Java 实现。

对于这种需求，首先想到的当然是穷举。由于排列的要求较少，实现更简单一些，如果我先找出所有排列，再剔除由于位置不同而重复的元素，即可实现需求。假设需要从 [A B C D E] 五个元素中取出所有组合，那么我们先找出所有元素的全排列，然后再将类似 [A B] 和 [B A] 两种集合去重即可。

我们又知道 ，那么我们先考虑一种情况 ，假设是 ，从 5 个元素中选出三个进行全排列。

被选取的三个元素，每一个都可以是 ABCDE 之一，然后再排除掉形成的集合中有重复元素的，就是 5 选 3 的全排列了。

代码是这样：

对于结果组合的排重，我借用了 Java 中 HashSet 的两个特性：

可以注意得到，上面程序中 count 参数是写死的，如果需要取出 4 个元素的话就需要四层循环嵌套了，如果取的元素个取是可变的话，普通的编码方式就不适合了。

注: 可变层数的循环可以用 递归 来实现。

穷举毕竟太过暴力，我们来通过分治思想来重新考虑一下这个问题：

分治的思想总的来说就是”大事化小，小事化了”，它将复杂的问题往简单划分，直到划分为可直接解决的问题，再从这个直接可以解决的问题向上聚合，最后解决问题。

从 M 个元素中取出 N 个元素整个问题很复杂，用分治思想就可以理解为：

还是从 5 个元素中取 3 个元素的示例：

用代码实现如下：

从元素的全排列找全组合，比穷举略好，但还不是最好的方法，毕竟它”绕了一次道”。

很多算法都能通过位运算巧秒地解决，其优势主要有两点：一者位运算在计算机中执行效率超高，再者由于位运算语义简单，算法大多直指本质。

组合算法也能通过位运算实现。

再次考虑全组合的需求，从 M 个元素中取任意个元素形成组合，组合内元素不能重复、元素位置无关。

之前的方法都是从结果组合是否满足要求来考虑问题，考虑组合是否有重复元素、是否已有同样的组合等条件。如果换种思路，从待选元素上来考虑呢？

对于每个元素来说，它的状态就简单得多了，要么被放进组合，要么不放进组合。每个元素都有这么两种状态。如果从 5 个元素中任意取 N 个元素形成组合的话，用二进制位来表示每个元素是否被放到组合里，就是：

看到这里，应该就非常清楚了吧，每种组合都可以拆解为 N 个二进制位的表达形式，而每个二进制组合同时代表着一个十进制数字，所以每个十进制数字都就能代表着一种组合。

十进制数字的数目我们很简单就能算出来，从00000... 到 11111... 一共有 种，排除掉全都不被放进组合这种可能，结果有 种。

下面是 Java 代码的实现：

排列和组合算法在实际应用中很常见，而且他们的实现方法也非常具有参考意义。总的来说：排列用递归、组合用位运算。