3
1
10481
算法分析：
大数问题，需要利用快速幂取模算法。
所谓的快速幂，实际上是快速幂取模的缩写，简单的说，就是快速的求一个幂式的模(余)。在程序设计过程中，经常要去求一些大数对于某个数的余数，为了得到更快、计算范围更大的算法，产生了快速幂取模算法。求a^b mod c = 几。 (result就是取余后的结果)
算法1.普通算法：
int pow( int a, int b )
{
int r = 1;
while( b-- )
r *= a;
return r;
}
result=r%c;
这个算法的时间复杂度体现在while循环中，为O（b）.这个算法存在着明显的问题，如果a和b过大，很容易就会溢出。
算法2.二分法
int pow( int a, int b )
{
int r = 1, base = a;
while( b != 0 )
{
if( b % 2 )
r *= base;
base *= base;
b /= 2;
}
return r;
}
result=r%c;
算法三：快速幂取模算法
首先要了解这样一个公式：a^b mod c=(a mod c)^b mod c(详细证明请看数论或者离散数学)
了解了这个公式，我们可以先让a关于c取余，这样可以大大减少a的大小， 于是不用思考的进行了改进，代码如下：
int pow(int a, int b)
{
int r = 1;
a = a % c; //加上这一句
while(b--) {
r*=a; //为了使r每次的数值更小，保证数据大小的可行性，这里可以改为 r=(r*a)%c;
}
}
result = r % c;
这个算法在时间复杂度上没有改进，仍为O(b)，不过已经允许更大b值，但是在c过大的条件下，还是很有可能超时，所以，我们结合前面推出更快更好快速幂算法。 快速幂算法依赖于以下明显的公式，我就不证明了。
我们可以看到，我们把时间复杂度变成了O(b/2).当然，这样子治标不治本。但我们可以看到，当我们令k = (a * a) mod c时，状态已经发生了变化，我们所要求的最终结果即为(k)b/2 mod c而不是原来的ab mod c，所以我们发现这个过程是可以迭代下去的。当然，对于奇数的情形会多出一项a mod c，所以为了完成迭代，当b是奇数时，我们通过 ans = (ans * a) % c;来弥补多出来的这一项，此时剩余的部分就可以进行迭代了。
形如上式的迭代下去后，当b=0时，所有的因子都已经相乘，算法结束。于是便可以在O（log b）的时间内完成了。于是，有了最终的算法：快速幂算法。 代码如下：
int Pow(int a, int b, int c)
{
int r = 1; a = a % c;
while(b>0)
{
if(b % 2 = = 1)
r = (r * a) % c;
b = b/2;
a = (a * a) % c;
}
return r;
}
利用位操作实现快速幂的代码如下:(测试了下这种求幂法能力很有限，如果不在中间取模，，很容易就溢出了)
#include
#include
_int64 pow( _int64 a, _int64 b ); int main() { _int64 a,b,c; int n; scanf("%d",&n); printf("%d\n",100&1); while(n--){ scanf("%I64d%I64d%I64d",&a,&b,&c); printf("%I64d\n",pow(a,b)%c); } return 0; } _int64 pow( _int64 a, _int64 b ) { _int64 r = 1, base = a; printf("%I64d %I64d\n",a,b); while( b != 0 ) { if( b & 1 ) r *= base; base *= base; printf(" %I64d %I64d\n",r,b); b >>= 1; } return r; }
本题代码如下：
#include
#include
long long pow(long long a,long long b,long long c); int main(void) { long long a,b,c; int n; scanf("%d",&n); while(n--){ scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c); printf("%lld\n",pow(a,b,c)); } return 0; } long long pow(long long a,long long b,long long c) { int r=1; a=a%c; while(b>0){ if(b%2==1) r=(r*a)%c; b=b/2; a=(a*a)%c; } return r; }
本算法的时间复杂度为O（logb），能在几乎所有的程序设计（竞赛）过程中通过，是目前最常用的算法之一，值得
推广学习！！！