如果你不知道什么叫背包问题，下面是0-1背包问题的简单描述
假设有n件物品
每件物品的体积为w1, w2……wn
相对应的价值为 v1, v2.……vn.
01背包是在n件物品取出若干件放在空间为total_weight的背包里，使得背包的总体积最大
关于0-1背包问题没有优化版本，请看这里
上面的核心代码是下面这一段
[cpp]
for （int i = 1; i <= n; i++） {
for （int j = 1; j <= total_weight; j++） {
if （w[i] > j） {
c[i][j] = c[i-1][j];
} else {
if （c[i-1][j] > v[i]+c[i-1][j-w[i]]） {
c[i][j] = c[i-1][j];
}
else {
c[i][j] = v[i] + c[i-1][j-w[i]];
}
}
}
}
注意到状态转移方程 c[i][j] = max{c[i-1][j], c[i-1][j-w[i]]+v[i]}
每一次c[i][j]改变的值只与c[i-1][x] {x:1…j}有关c[i-1][x]是前一次i循环保存下来的值，因此，可以将c缩减成一维数组
状态转移方程转换为 c[j] = max（c[j], c[j-w[i]]+v[i]）；
并且，我们注意到状态转移方程，每一次推导c[i][j]是通过c[i-1][j-w[i]]来推导的，而不是通过c[i][j-w[i]]
因此，j的扫描顺序应该改成从大到小
否则，第i次求c数组，必然先求的c[j-w[i]]的值（即c[i][j-w[i]]），再求c[j]（即c[i][j]）的值
由于j递增，那么状态方程就成为下面这个样子了
c[i][j] = max（c[i-1][j], c[i][j-w[i]]+v[i]）显然不符合题意
所以，上面的代码变为
[cpp]
for （int i = 1; i <= n; i++） {
for （int j = total_weight; j >= 1; j--） {
if （w[i] > j） {
c[j] = c[j]; //表示第i次与第i-1次相等，这里因为c[j]本来就保存这上一次的值，所以这里不需变化
} else {
//说明第i件物品的重量小于背包的重量，所以可以选择第i件物品放还是不放
if （c[j] > v[i]+c[j-w[i]]） {
c[j] = c[j];
}
else {
c[j] = v[i] + c[j-w[i]];
}
}
}
}
最后我们可以做下优化，把不必要的语句去掉即可完成优化
[cpp]
for （int i = 1; i <= n; i++） {
for （int j = total_weight; j >= w[i]; j--） {
if （c[j] <= v[i] + c[j-w[i]]）
c[j] = v[i] + c[j-w[i]];
}
}
如此优美的代码简直无法想象！
注意，空间优化版本最后是求解不出来最优解序列的，但是能求出最优解，也就是最大价值 |