给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大
形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,), xi∈{0,1}, ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。
2、最优性原理：
设(y1,y2,…,yn)是 (3.4.1)的一个最优解.则(y2,…,yn)是下面相应子问题的一个最优解:
证明:使用反证法。若不然,设(z2,z3,…,zn)是上述子问题的一个最优解,而(y2,y3,…,yn)不是它的最优解。显然有
∑vizi > ∑viyi (i=2,…,n)
且 w1y1+ ∑wizi<= c
因此 v1y1+ ∑vizi (i=2,…,n) > ∑ viyi, (i=1,…,n)
说明(y1,z2, z3,…,zn)是(3.4.1)0-1背包问题的一个更优解,导出(y1,y2,…,yn)不是背包问题的最优解,矛盾。
3、递推关系：
设所给0-1背包问题的子问题
的最优值为m(i，j)，即m(i，j)是背包容量为j，可选择物品为i，i+1，…，n时0-1背包问题的最优值。由0-1背包问题的最优子结构性质，可以建立计算m(i，j)的递归式:
注:(3.4.3)式此时背包容量为j，可选择物品为i。此时在对xi作出决策之后,问题处于两种状态之一:
(1)背包剩余容量是j,没产生任何效益；
(2)剩余容量j-wi,效益值增长了vi ；
算法具体代码如下：
[cpp]
//3d10-1 动态规划 背包问题
#include "stdafx.h"
#include
using namespace std;
const int N = 4;
void Knapsack(int v[],int w[],int c,int n,int m[][10]);
void Traceback(int m[][10],int w[],int c,int n,int x[]);
int main()
{
int c=8;
int v[]={0,2,1,4,3},w[]={0,1,4,2,3};//下标从1开始
int x[N+1];
int m[10][10];
cout<<"待装物品重量分别为："<
for(int i=1; i<=N; i++)
{
cout<
}
cout<
cout<<"待装物品价值分别为："<
for(int i=1; i<=N; i++)
{
cout<
}
cout<
Knapsack(v,w,c,N,m);
cout<<"背包能装的最大价值为："<
Traceback(m,w,c,N,x);
cout<<"背包装下的物品编号为："<
for(int i=1; i<=N; i++)
{
if(x[i]==1)
{
cout<
}
}
cout<
return 0;
}
void Knapsack(int v[],int w[],int c,int n,int m[][10])
{
int jMax = min(w[n]-1,c);//背包剩余容量上限 范围[0~w[n]-1]
for(int j=0; j<=jMax;j++)
{
m[n][j]=0;
}
for(int j=w[n]; j<=c; j++)//限制范围[w[n]~c]
{
m[n][j] = v[n];
}
for(int i=n-1; i>1; i--)
{
jMax = min(w[i]-1,c);
for(int j=0; j<=jMax; j++)//背包不同剩余容量j<=jMax
{
m[i][j] = m[i+1][j];//没产生任何效益
}
for(int j=w[i]; j<=c; j++) //背包不同剩余容量j-wi >c
{
m[i][j] = max(m[i+1][j],m[i+1][j-w[i]]+v[i]);//效益值增长vi
}
}
m[1][c] = m[2][c];
if(c>=w[1])
{
m[1][c] = max(m[1][c],m[2][c-w[1]]+v[1]);
}
}
//x[]数组存储对应物品0-1向量,0不装入背包，1表示装入背包
void Traceback(int m[][10],int w[],int c,int n,int x[])
{
for(int i=1; i
{
if(m[i][c] == m[i+1][c])
{
x[i]=0;
}
else
{
x[i]=1;
c-=w[i];
}
}
x[n]=(m[n][c]) 1:0;
}
算法执行过程对m[][]填表及Traceback回溯过程如图所示：
从m(i，j)的递归式容易看出，算法Knapsack需要O(nc)计算时间; Traceback需O(n)计算时间；算法总体需要O(nc)计算时间。当背包容量c很大时，算法需要的计算时间较多。例如，当c>2^n时，算法需要Ω(n2^n)计算时间。
4、算法的改进：
由m(i,j)的递归式容易证明，在一般情况下，对每一个确定的i(1≤i≤n)，函数m(i,j)是关于变量j的阶梯状单调不减函数。跳跃点是这一类函数的描述特征。在一般情况下，函数m(i,j)由其全部跳跃点唯一确定。如图所示。
对每一个确定的i(1≤i≤n)，用一个表p[i]存储函数m(i，j)的全部跳跃点。表p[i]可依计算m(i，j)的递归式递归地由表p[i+1]计算，初始时p[n+1]={(0，0)}。
一个例子：n=3，c=6，w={4，3，2}，v={5，2，1}。
函数m(i,j)是由函数m(i+1,j)与函数m(i+1,j-wi)+vi作max运算得到的。因此，函数m(i,j)的全部跳跃点包含于函数m(i+1，j)的跳跃点集p[i+1]与函数m(i+1，j-wi)+vi的跳跃点集q[i+1]的并集中。易知，(s,t)∈q[i+1]当且仅当wi<=s<=c且(s-wi,t-vi)∈p[i+1]。因此，容易由p[i+1]确定跳跃点集q[i+1]如下：
q[i+1]=p[i+1] (wi,vi)={(j+wi,m(i,j)+vi)|(j,m(i,j))∈p[i+1]}
另一方面，设(a，b)和(c，d)是p[i+1]∪q