BZOJ[Noi2010]能量采集

Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中，总共产生了36的能量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

Sample Output

题目喊我们求的是sigma{gcd(x,y)}*2-n*m；

所以求sigma{gcd(x,y)}就完了，最先想的是枚举x，对于每一个x，计算sigma{gcd(x,p)}，最后统计，这样考虑枚举不同的gcd(a,b)，即枚举x不同的因数，对于一个因数k，1--m中gcd(x,p)为k的倍数的个数为x/k，然后用一次容斥原理，1--m中gcd(x,p)为k的个数为x/k-sigma{x/(k*i)}。这样复杂度是O(nlognlogn)的。

#include
  
    
#include
   
     #include
    
      #include
     
       #include
      
        #include
       
         using namespace std; typedef long long LL; LL sta[20000]; int top; LL sum=0; LL n,m; LL ans[20000]; int main(){ // freopen("energy.in","r",stdin); // freopen("energy.out","w",stdout); scanf("%lld%lld",&n,&m); for (int i=1;i<=n;i++){ top=0; LL tmp=i; for (int j=1;j*j<=i;j++) if (i%j==0){ sta[++top]=j; if (i!=j*j) sta[++top]=i/j; } sort(sta+1,sta+top+1); // if (tmp!=1) sta[++top]=tmp; // if (i!=1) sta[++top]=i; for (int j=top;j>=1;j--){ LL cnt=m/sta[j]; for (int k=top;k>j;k--) if (sta[k]%sta[j]==0) cnt-=ans[k]; ans[j]=cnt; } // for (int j=1;j<=top;j++) printf("%d ",sta[j]);printf("\n"); // for (int j=1;j<=top;j++) printf("%d ",ans[j]);printf("\n\n"); for (int j=1;j<=top;j++) sum+=ans[j]*sta[j]; } printf("%lld",2*sum-n*m); return 0; }
       
      
     
    
   
  

查了网上题解发现，其实不需要枚举x，直接对于每一个不同的gcd，用容斥算就行了：对于一个gcd=k的情况，出现gcd是k的倍数的个数为n/k*m/k，用一次容斥，出现gcd是k的个数为n/k*m/k-sigma{(n/k*i)*(m/k*i)}，最后统计一边就行了

#include
  
   
#include
   
     inline int min(int a,int b){return a
    
     =1;i--) for(int k=2;k*i<=t;k++) cnt[i]-=cnt[k*i];//to get the real number of whose gc is i long long ans = 0; for(int i=1;i<=t;i++) ans+=2*(i-1)*cnt[i]; printf("%lld\n",ans+(long long)n*m); } return 0; }