设已知方程f(x)=0的近似根x0 ,则在x0附近f(x)可用一阶泰勒多项式近似代替.因此, 方程f(x)=0可近似地表示为p(x)=0。用x1表示p(x)=0的根,它与f(x)=0的根差异不大.
设 ,由于x1满足解得
重复这一过程,得到迭代公式：
这就是著名的牛顿迭代公式,它相应的不动点方程为
Jacobi迭代公式解线性方程组
线性方程组基本解法：
若方程组可同解变形为
Jacobi迭代法的计算公式：
即
算法代码
[cpp]
/*简单迭代法的代码实现*/
#include
#include
#include
using namespace std;
double e=2.718281818284;
double f(double x){
return pow(e,-1*x);
}
void SimpleDiedai(double x,double d){
double a=x;
double b=f(a);
int k=0;//记录循环的次数
while(((a-b)>d) || ((a-b)<-1*d)){
cout<
a=b;
b=f(a);
k++;
if(k>100){
cout<<"迭代失败！（可能是函数不收敛）"<
return ;
}
}
cout<
return;
}
int main(){
cout<<"请输入初始值x0和要求得结果的精度：";
double x,d;
cin>>x>>d;
SimpleDiedai (x,d);
return 0;
} www.2cto.com
/*牛顿迭代法的代码实现*/
#include
#include
#include
using namespace std;
double e=2.718281818284;
double f(double x){
double a=pow(e,-1*x);
return x-(x-a)/(1+a);
}
void NewtonDiedai(double x,double d){
double a=x;
double b=f(a);
int k=0; //记录循环的次数
while(((a-b)>d) || ((a-b)<-1*d)){
cout<
a=b;
b=f(a);
k++;
if(k>100){
cout<<"迭代失败！（可能是函数不收敛）"<
return ;
}
}
cout<
return;
}
int main(){
cout<<"请输入初始值x0和要求得结果的精度：";
double x,d;
cin>>x>>d;
NewtonDiedai(x,d);
return 0;
}
/*雅可比算法的代码实现*/
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
//函数求数组中的最大值
double MaxOfList(vector
x){
double max=x[0];
int n=x.size();
for(int i=0;i
if(x[i]>max) max=x[i];
return max;
}
//雅可比迭代公式
void Jacobi(vector > A,vector B,int n){
vector X(n,0);
vector Y(n,0);
vector D(n,0);
int k=0; //记录循环次数
do{
X=Y;
for(int i=0;i
double tem=0;
for(int j=0;j
if(i!=j) tem += A[i][j]*X[j];
}
Y[i]=(B[i]-tem)/A[i][i];
cout<
}
cout<
k++;
if(k>100){
cout<<"迭代失败！（可能是函数不收敛）"<
return ;
}
for(int a=0;a
D[a]=X[a]-Y[a];
}
}while( MaxOfList(D)>0.00001 || MaxOfList(D)<-0.00001);
return ;
}
int main(){
int n;
cout<<"请输入方程组未知数的个数n：";
cin>>n;
cout<
vector >A(n,vector(n,0));
vectorB(n,0);
cout<<"请输入方程组的系数矩阵："<
for(int i=0;i
for(int j=0;j
cin>>A[i][j];
}
}
cout<
cout<<"请输入方程组的值向量："<
for(int k=0;k
cin>>B[k];
}
cout<
cout<<"您输入的方程组为："<
for(int a=0;a
for(int b=0;b
cout<
}
cout<<" "<
}
cout<
cout<<"由雅可比迭代公式求的方程组的解为："<
Jacobi(A,B,n);
return 0;
}
实验过程原始记录
（1）分别用简单迭代法和牛顿迭代法求方程在x=0.5附近的一个根x*，要求精度为0.00001
（输入0.5 0.000001）简单迭代法得到结果：
（输入0.5 0.000001）牛顿迭代法得到结果：
X0=0.5 x1=0.566311 x2=0.567143
（2）用雅可比迭代法求解方程组
运行程序，根据提示输入 （3） （10 -1 -2 -1 10 -2 -1 -2 5） （7.2 8.3 4.2）
实验结果及分析
1、迭代法是一种逐次逼近法，这种方法使用某个固定公式－所谓迭代公式反复校正根的近似值，使之逐步精确化，直至满足精度要求的结果。迭代法是一种求解函数方程f（x）=0的解的方法，他解决了二分法无法求解复根级偶重根的问题，而其提高了收敛速度。迭代的思想是计算方法中基础的求解问题的思想。
2、简单迭代法的求根过程分成两步，第一步先提供根的某个猜测值，即所谓迭代初值，然后将迭代初值逐步加工成满足精度