LeetCode之Median of Two Sorted Arrays

【题目】

Median of Two Sorted Arrays

There are two sorted arrays A and B of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays.

The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

【题意】

有两个大小为m和n的已经排序的数组A，B。找到两个已排序的数组的中位数。总的运行时间复杂度应为O（log（M + N））。

【分析】

这是一道非常经典的题。这题更通用的形式是，给定两个已经排序好的数组，找到两者所有元素中第 k 大的元素。O(m + n) 的解法比较直观，

直接 merge 两个数组，然后求第 k 大的元素。不过我们仅仅需要第 k 大的元素，是不需要“排序”这么复杂的操作的。可以用一个计数器，
记录当前已经找到第 m 大的元素了。同时我们使用两个指针 pA 和 pB，分别指向 A 和 B 数组的第一个元素，使用类似于 merge sort 的原理，

如果数组 A 当前元素小，那么 pA++，同时 m++；如果数组 B 当前元素小，那么 pB++，同时 m++。最终当 m 等于 k 的时候，就得到了我们的答案，

O(k)时间，O(1) 空间。但是，当 k 很接近 m + n 的时候，这个方法还是 O(m + n) 的。
有没有更好的方案呢？我们可以考虑从 k 入手。如果我们每次都能够删除一个一定在第 k 大元素之前的元素，那么我们需要进行 k 次。

但是如果每次我们都删除一半呢？由于 A 和 B 都是有序的，我们应该充分利用这里面的信息，类似于二分查找，也是充分利用了“有序”。
假设 A 和 B 的元素个数都大于 k/2，我们将 A 的第 k/2 个元素（即 A[k/2-1]）和 B 的第 k/2
个元素（即 B[k/2-1]）进行比较，有以下三种情况（为了简化这里先假设 k 为偶数，所得到的结论对于 k 是奇数也是成立的）：
A[k/2-1] == B[k/2-1]
A[k/2-1] > B[k/2-1]
A[k/2-1] < B[k/2-1]
如果 A[k/2-1] < B[k/2-1]，意味着 A[0] 到 A[k/2-1 的肯定在 A [ B 的 top k 元素的范围内，换句话说，A[k/2-1 不可能大于 A [ B 的第 k 大元素。留给读者证明。
因此，我们可以放心的删除 A 数组的这 k/2 个元素。同理，当 A[k/2-1] > B[k/2-1] 时，可以删除 B 数组的 k/2 个元素。
当 A[k/2-1] == B[k/2-1] 时，说明找到了第 k 大的元素，直接返回 A[k/2-1] 或 B[k/2-1]即可。
因此，我们可以写一个递归函数。那么函数什么时候应该终止呢？
当 A 或 B 是空时，直接返回 B[k-1] 或 A[k-1]；
当 k=1 是，返回 min(A[0], B[0])；
当 A[k/2-1] == B[k/2-1] 时，返回 A[k/2-1] 或 B[k/2-1]

【代码】

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*   日期：2014-01-16
*   作者：SJF0115
*   题号: Median of Two Sorted Arrays
*   来源：http://oj.leetcode.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/
*   结果：AC
*   来源：LeetCode
*   总结：
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#include 
  
   
#include 
   
     using namespace std; class Solution { public: //求中位数 double findMedianSortedArrays(int A[], int m, int B[], int n) { int total = (m + n); //判断奇偶性 if(total &0x1){ return find_kth(A,m,B,n,total/2+1); } else{ double a = find_kth(A,m,B,n,total/2); double b = find_kth(A,m,B,n,total/2+1); return (a + b) / 2; } } private: //求第k个元素 static double find_kth(int A[], int m, int B[], int n, int k) { if (m > n) { return find_kth(B, n, A, m, k); } if (m == 0) { return B[k - 1]; } if (k == 1) { return min(A[0], B[0]); } //++ int pa = min(k / 2, m); int pb = k - pa; //删除A数组的pa个 if (A[pa - 1] < B[pb - 1]) { return find_kth(A + pa, m - pa, B, n, k - pa); } //删除B数组的pb个 else if (A[pa - 1] > B[pb - 1]) { return find_kth(A, m, B + pb, n - pb, k - pb); } //A[pa - 1] = B[pb - 1] 则A[pa - 1]，B[pb - 1]为第k个 else { return A[pa - 1]; } } }; int main() { double result; Solution solution; //int A[] = {1,4,6,7,9,17}; //int B[] = {2,3,5,8,11,14}; int A[] = {}; int B[] = {1}; result = solution.findMedianSortedArrays(A,0,B,1); printf("Result:%lf\n",result); return 0; }