13.5  定步长积分循环的终止

数学计算中最常见的一类计算是微分方程的数值计算，而这类计算通常是一个积分循环。例如，一个以时间为自变量的微分方程的积分形式如下：

while( 积分循环条件 )  
{  
    X(t) => X( t+h )    // 单步积分，  
    例如二阶Runge-Kutta积分  
    t += h;  
} 

当这个循环结束时就可以得到结果。当然，实际使用的形式有多种，例如还可以使用：

while( 1 )  
{  
    X(t) => X( t+h )    // 单步积分  
    if( 积分终止条件 )  
        break;  
    t += h;  
} 

不过，它们在逻辑上是一致的，可以通过变形相互转化。

这类定步长积分终止条件一般有两类：一类就是自变量自身，例如某一方程要求从时间t0积分到t1，此处的t1就是积分终止条件；一类是约束条件，例如弹道导弹积分一般以落地为终止条件。

13.5.1  自变量终止条件

要满足这类终止条件，往往需要在最后一步做些修正。曾有一个程序员给出下列终止条件：

if( t >= tEnd )  
    break; 

当积分终止时t>=tEnd，而正确的计算要求t=tEnd，显然上述积分终止条件会导致积分误差t-tEnd，最大可能接近一个积分步长。在弹道计算的主动段，积分步长可能是0.1s，如果加速度是10m/s2，这意味着速度偏差1m/s。如果随后导弹飞行10min，那么将造成约600m的偏差，远远超过了一般战术弹道导弹的命中精度指标。

为了避免这种错误，需要在积分的最后一步作些特殊处理。修改终止条件：

while( t <= tEnd - h )  
{  
    X(t) => X( t+h )    // 单步积分  
    t += h;  
} 

上述积分循环在t接近tEnd时终止，终止时tEnd-t

h = tEnd - t;  
X(t) => X( t+h )        // 单步积分  
t += h;