ZOJ3707 Calculate Prime S 数论好题目啊

这道题目真的很难啊，不是那么好做的，现场比赛若是遇到这个 真心很难去花时间研究，我做了好久 WA了 10多把终于过了

总是做算法，不如来个陶冶情操的文章一篇： http://www.sanwen.net/subject/3628849/

有一个集合{1,2,3,,,n}, Sn表示 他的特殊子集数（子集中元素不允许出现连续的现象），比如 {1,2}这个就是非法的，Sn与前面所有的Si都互素的sn叫做 PRIME S，

求不小于第K个PRIME S的 能被X整除的数 对M取模的结果

我的想法没那么高深，一开始就按照题目要求，列举找出SN的值，后来多写几个 发现了 是 fibonacci数列，题目中把 Sn与前面所有的Si都互素的sn叫做 PRIME S，再在 fibonacci数列里找找，发现 其实如果 F[n]是素数的话 那么 就满足题目要求，那么其实F[n] 是PRIME S 当F[n] 为素数，所以 题目的大体方向救出来了，就是 fibonacci数列构造出来，但是K的最大值有10^6所以 不可能递推出来，可以用矩阵构造

构造矩阵 A[2][2] ={1,1,1,0}，这个在学矩阵快速幂的时候遇到过，用上了

对于输出还有一个特殊的地方 那就是 如果 X/Y%MOD,如果Y能够整除X，这个式子可以转化为 (X%(MOD*Y))/Y,证明

如果b与c互素，则(a/b)%c=a*b^(phi(c)-1)%c

如果b与c不互素，则(a/b)%c=(a%bc)/b

这只是我的一些过程 还有大牛的分析，可能更好：来自http://www.cnblogs.com/xinyuyuanm/archive/2013/05/29/3106627.html

fibonacci数列的性子：

1.gcd(fib(n),fib(m))=fib(gcd(n,m))

证明：可以通过反证法先证fibonacci数列的恣意相邻两项一定互素，然后可证n>m时gcd(fib(n),fib(m))=gcd(fib(n-m),fib(m))，递归可

求gcd(fib(n),fib(m))=gcd(fib(k),fib(l))，最后k=l，不然继承递归。K是通过展转相减法求出，易证k=gcd(n,m)，所以gcd(fib(n),fib(m))

=fib(gcd(n,m))。

2.如果fib(k)能被x整除，则fib(k*i)都可以被x整除。

3.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1

4.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)

5.f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n) =f(2n+1)-1

6.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n) f(n+1)

7.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n f(n)=(-1)^n [f(n+1)-f(n)]+1

8.f(m+n)=f(m-1) f(n-1)+f(m) f(n)

9.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1) f(n+1)

10.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2

11.3f(n)=f(n+2)+f(n-2)

12.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1,且n≥1]

还有一个结论：

盘算(a/b)%c 其中b能整除a

如果b与c互素，则(a/b)%c=a*b^(phi(c)-1)%c

如果b与c不互素，则(a/b)%c=(a%bc)/b

对于b与c互素和不互素都有(a/b)%c=(a%bc)/b成立

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