12.4  基于置乱的图像加密技术

"置乱"，顾名思义，就是通过把要传输的信息次序打乱，使其变得难以辨认。数字图像置乱和信息加密思想类似，它是对图像进行处理，使图像看起来杂乱无章，隐藏真实的图像信息。从广义上讲，图像是自然界景物的客观反映，是一种二维随机场；数字图像是连续图像经采样、量化后的高维空间中的离散点，是多重集上的全排列。因此，我们可以借助组合数学知识中的一些理论和方法来研究图像的某些性质。

12.4.1  数字图像与排列变换

二维数字图像可以用一个矩阵AM×N表示，矩阵元素a(i, j)代表图像第i行第j列像素的灰度值（i = 1, 2, …, M; j=1, 2, …, N）。位置空间上的置乱实质上是由原图像矩阵到密图矩阵的一个矩阵变换：

这里A′M×N是置乱后的图像矩阵。置乱p不改变原图像像素的灰度值，密图A′M×N与原图AM×N有相同的灰度直方图，但置乱的过程改变了原图像AM×N中像素的相邻位置，使得视觉系统无法从杂乱无章的图像中获得原图像信息，从而达到加密的目的。从灰度直方图猜测原图像的复杂程度可以从下述结论得到估计。

设数字图像AM×N共有t个灰度级，各个灰度级的像素数分别是（n1, n2, …, nt），则依据组合数学的有关原理不难得知总共可以形成的图像数为：

其中，n1+n2+n3+…+nt= 。

基于置乱的图像加密技术在恢复加密后的图像时一般采用相反的变换处理，因此是一种对称性变换。对称性加密的安全性依赖于加密算法，由于算法和密钥没有有效地分离，一旦加密方案被他人获取，则图像的保密性降低。因此，应设计出尽可能灵活多变的加密算法。

由于数字图像是有限的像素点阵，所以图像的置乱p的周期是有限的，即必存在自然数k使得pk(AM×N) = AM×N，当置乱迭代到某一步时，将重新得到原始图像。任何一个置乱都可以表示成若干循环的乘积，所以置乱p的周期k将决定于p中各循环长度的最小公倍数。

复杂的排列变换可以由简单的排列变换进行复合运算得到。当p具有某种非线性特征时，由此所构成的系统有可能出现混沌现象，从而达到图像加密的目的。