HDU 3117 Fibonacci Numbers(矩阵快速幂+公式) - c++编程基础

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HDU 3117 Fibonacci Numbers(矩阵快速幂+公式)

2015-07-20 17:36:54 来源: 作者: 【大中小】浏览:2次

题目地址：HDU 3117

对于后四位可以用矩阵快速幂快速求出来，但前四位就没办法了。要知道斐波那契数列是有通项公式的，所以只能通过通项公式来求前四位，但公式不能求后四位，因为公式使用浮点数求的，精度显然不够，求前四位要用到对数。

通项公式为：

f(n)=1/sqrt(5)(((1+sqrt(5))/2)^n+((1-sqrt(5))/2)^n)

假设F[n]可以表示成 t * 10^k（t是一个小数），那么对于F[n]取对数log10，答案就为log10 t + K，此时很明显log10 t<1，于是我们去除整数部分，就得到了log10 t ，
再用pow（10，log10 t)我们就还原回了t。将t×1000就得到了F[n]的前四位。具体实现的时候Log10 F[n]约等于((1+sqrt(5))/2)^n/sqrt(5)，这里我们把((1-sqrt(5))/2)^n这一项忽略了，
因为当N>=40时，这个数已经小的可以忽略。于是log10 F[n]就可以化简成log10 1/sqrt(5) + n*log10 (1+sqrt(5))/2。

于是就可以用矩阵快速幂求后四位，用公式求前四位。

代码如下：

#include 
  
   
#include 
   
     #include 
    
      #include 
     
       #include 
      
        #include 
       
         #include 
        
          #include 
         
           #include 
           #include 
           
             #include 
            
              using namespace std; #define LL __int64 const int mod=1e4; struct matrix { int ma[3][3]; } init, res; matrix Mult(matrix x, matrix y) { int i, j, k; matrix tmp; memset(tmp.ma,0,sizeof(tmp.ma)); for(i=0; i<2; i++) { for(k=0; k<2; k++) { for(j=0; j<2; j++) { tmp.ma[i][j]=(tmp.ma[i][j]+x.ma[i][k]*y.ma[k][j])%mod; } } } return tmp; } matrix Pow(matrix x, int k) { matrix tmp; int i, j; for(i=0; i<2; i++) for(j=0; j<2; j++) tmp.ma[i][j]=(i==j); while(k) { if(k&1) tmp=Mult(tmp,x); x=Mult(x,x); k>>=1; } return tmp; } int main() { int k, fib[40], i; fib[0]=0; fib[1]=1; for(i=2; i<40; i++) { fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2]; } while(scanf("%d",&k)!=EOF) { if(k<40) { printf("%d\n",fib[k]); continue ; } init.ma[0][0]=init.ma[0][1]=init.ma[1][0]=1; init.ma[1][1]=0; res=Pow(init,k); double ans; ans=-0.5*(log10(5.0))+k*log10((sqrt(5.0)+1.0)/2); ans-=(int)ans; ans=pow(10.0,ans); ans*=1000; printf("%d...",(int)ans); printf("%4.4d\n",res.ma[0][1]); } return 0; }


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