回溯法（背包问题和八皇后问题）

算法分析

给定n中物品和一个容量为c的背包，物品i的重量为Wi,其价值为Vi,背包问题是如何选择装入背包的物品（物品不可分割），使得装入背包的物品的价值为最大，考虑到每种物品只有2 种选择，即装入背包或不装入背包，并且物品数和背包容量已给定，要计算装入背包物品的最大价值和最优装入方案，可用回溯法搜索子集树的算法进行求解

一物品有n种，背包容量为C，分别用p[i]和w[i]存储第i种物品的价值和重量，用
x[i]标记第i种物品是否装入背包，用bestx[i]存储第i种物品的最优装载方案；
二. 用递归函数Backtrack (i,cp,cw)来实现回溯法搜索子集树（形式参数i表示递归深
度，n用来控制递归深度，形式参数cp和cw表示当前总价值和总重量，bestp表示当前
最优总价值）：
① 若i >n，则算法搜索到一个叶结点，判断当前总价值是否最优：
1> 若cp>bestp，更新当前最优总价值为当前总价值（即bestp=cp），更新
装载方案（即bestx[i]=x[i]( 1≤i≤n)）；
② 采用for循环对物品i装与不装两种情况进行讨论（0≤j≤1）：
1> x[i]=j；
2> 若总重量不大于背包容量（即cw+x[i]*w[i]<=c），则更新当前总价 br=""> 值和总重量（即cw+=w[i]*x[i],cp+=p[i]*x[i]）, 对物品i+1调用递归函
数Backtrack(i+1,cp,cw) 继续进行装载；
3> 函数Backtrack(i+1,cp,cw)调用结束后则返回当前总价值和总重量
（即 cw-=w[i]*x[i],cp-=p[i]*x[i]）；
4> 当j>1时，for循环结束；
③ 当i=1时，若已测试完所有装载方案，外层调用就全部结束；
三 主函数调用一次backtrack(1,0,0)即可完成整个回溯搜索过程，最终得到的bestp和bestx[i]即为所求最大总价值和最优装载方案。

.#include

int n,c,bestp;//物品的个数，背包的容量，最大价值

int p[10000],w[10000],x[10000],bestx[10000];//物品的价值，物品的重量，x[i]暂存物品的选中情况,物品的选中情况

void Backtrack(int i,int cp,int cw)

{ //cw当前包内物品重量，cp当前包内物品价值

int j;

if(i>n)//回溯结束

{

if(cp>bestp)

{

bestp=cp;

for(i=0;i<=n;i++) bestx[i]=x[i];

}

}

else

for(j=0;j<=1;j++)

{

x[i]=j;

if(cw+x[i]*w[i]<=c)

{

cw+=w[i]*x[i];

cp+=p[i]*x[i];

Backtrack(i+1,cp,cw);

cw-=w[i]*x[i];

cp-=p[i]*x[i];

}

}

}

int main()

{

int i;

bestp=0;

printf("请输入背包最大容量:\n");

scanf("%d",&c);

printf("请输入物品个数:\n");

scanf("%d",&n);

printf("请依次输入物品的重量:\n");

for(i=1;i<=n;i++)

scanf("%d",&w[i]);

printf("请依次输入物品的价值:\n");

for(i=1;i<=n;i++)

scanf("%d",&p[i]);

Backtrack(1,0,0);

printf("最大价值为:\n");

printf("%d\n",bestp);

printf("被选中的物品依次是(0表示未选中，1表示选中)\n");

for(i=1;i<=n;i++)

printf("%d ",bestx[i]);

printf("\n");

return 0;

}

结果

1...输入皇后个数：

1

1

2...请输入背包最大容量:

15

请输入物品个数:

3

请依次输入物品的重量:

5 6 4

请依次输入物品的价值:

7 5 9

最大价值为:

21

被选中的物品依次是(0表示未选中，1表示选中

1 1 1

小结：

回溯法是个好东西， 当自己对一个问题没有任何思路的时候就可以用回溯法， 虽然效率是一个严重的问题， 但是却能给问题一个形象的解释， 或者可以从回溯法想到一个不错的算法也不一定

当遇到一个可以用到回溯法的时候需要按照如下步骤进行：

1. 确定问题的一个解空间树， 这个解空间树至少包含一个你需要的那个解， 否则这个树就完全没有意义了

2. 组织好这棵树， 弄明白这棵树的每一个节点代表什么， 每一个分支代表什么

3. 从这棵树的根节点不断的向下深搜， 当遇到不合适的节点的时候直接跳过以这个节点为根的子树

4. 当搜索到了叶子节点的时候就回溯

分析

1...八皇后问题是十九世纪著名数学家高斯于1850年提出的。问题是：在8*8的棋盘上摆放8个皇后，使其不能互相攻击，即任意的两个皇后不能处在同意行，同一列，或同意斜线上。可以把八皇后问题拓展为n皇后问题，即在n*n的棋盘上摆放n个皇后，使其任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。

...每一行可以而且必须放一个皇后，所以n皇后问题的解可以用一个n元向量X=（x1,x2,.....xn）表示，其中，1≤ i≤ n且1≤ xi≤ n，即第n个皇后放在第i行第xi列上。由于两个皇后不能放在同一列上，所以，解向量X必须满足的约束条件为:xi≠ xj;若两个皇后的摆放位置分别是（i,xi）和（j,xj），在棋盘上斜率为-1的斜线上，满足条件i-j=xi-xj;在棋盘上斜率为1的斜线上，满足条件i+j=xi+xj;综合两种情况，由于两个皇后不能位于同一斜线上，所以，解向量X必须满足的约束条件为:

|i-xi|≠ |j-xj|

1...#include

#include

int x[100];

bool place(int k)//考察皇后k放置在x[k]列是否发生冲突

{

int i;

for(i=1;i