12.2  几种典型的混沌系统举例

混沌映射是研究混沌系统的工具，通过对混沌映射的研究可以抽象出许多相应的动力学系统的性质和特点。在加密系统的设计过程中，混沌映射对于生成数字化离散混沌序列也是必不可少的。下面介绍几种常用的混沌映射。

12.2.1  Logistic映射

Logistic映射即虫口模型，它是目前研究非常广泛的一种混沌映射。Logistic映射的意义可解释为：在某一范围内单一种类的昆虫繁殖时，其子代数量远远大于其亲代数量，这样可以认为，在子代出生后，其亲代的数量可忽略不计。设xn是某种昆虫第n年的个体数目，这个数目与年份有关，n只取整数值，第n+1年的数目为xn+1。

一维Logistic映射的数学表达式如下：

其中，0≤x≤1，μ为控制参数，0 < μ≤4。当0 <μ≤1时，该系统有一个定常解0（即初值取0时会使生成的序列全部为0），而且无论初值取为何值，通过多次迭代，序列会最终收敛于0。

当1<μ≤3时，定常解为0和1 1/μ，多次迭代后序列会收敛于这两个值中的一个。当3<μ≤4时，系统由倍周期通向混沌。特别地，当3.5699456…<μ≤4时，系统进入混沌状态，迭代生成的值处于一种伪随机分布的状态，而且μ取值越接近4，混沌性越强。当μ = 4时，Logistic映射的Lyapunov指数为ln2 = 0.6931。如图12-1所示是Logistic映射分岔图。
 

使用Logistic映射时应注意如下几点。

① 即使Logistic映射处于混沌区，即3.5699456…<μ≤4，也会出现所谓的倒分支现象。当μ＝4时Logistic映射在[0, 1]区间上出现混沌，称为单片混沌。当μ逐渐减小时，开始仍为单片混沌，但当μ减小到一个值μ1 = 3.678573…时，会由单片混沌变成2片混沌，即迭代值分布在2个区域，每一次迭代数值从其中一个跳到另一个。当μ值再减小到μ2 = 3.592572…时，2片混沌又分为4片，μ值继续减小，将产生8, 16, 32等倒分支，倒分支一直延续到μ∞ = 3.5699456。尽管取值仍是混沌的，但还是会影响混沌序列的性质，故应将μ值取在[μ1, 4]，以改善序列的随机分布性能。

② 当两个初值相差很小时，多次迭代后确实会差之千里，但这种差别只有在多次迭代后才会明显（如几十次）。故在使用Logistic混沌系统时，可以先让系统先迭代一定次数之后，再使用生成的值，这样可以更好地掩盖原始的情况。

③ 一个好的伪随机序列应该有比较平均的分布，也就是说，每个数出现的概率应该是相等的，但Logistic映射迭代序列的分布并不是均匀的，而是呈现两头大中间小的情形，即分布在0、1附近的概率较大。另外，除了μ=4 的迭代值域为[0, 1]外, 其他μ值的迭代值域都小于这个范围。计算表明，取定μ值的迭代值上界为μ/4，下界为(1 μ/4)μ×μ/4。为了保持迭代序列在整个[0, 1]区间的分布特性，在必要的情况下可以通过如下线性变换使每个参数μ下的迭代值域变换到[0, 1]区间，这样便消除了在参数μ作用下混沌方程迭代输出值域的差异性。
 

下面给出这个公式的一个证明。由上面描述可知，当μ值取定时，迭代值上界为μ/4，下界为(1 μ/4)μ×μ/4，而这里则希望能够把迭代区域均匀地放大到[0, 1]区间上。这相当于在二维平面内构造一条线段，如图12-2所示。这条斜线段的一个端点是((1 μ/4)μ×μ/4, 0)，另外一个端点是(μ/4, 1)，那么输入任何在[(1 μ/4)μ×μ/4, μ/4]区间内的值都可以被线性地映射到区间[0, 1]上。又知平面直线的两点式公式为：(x x0)/(x1 x0)=(y y0)/(y1 y0)，则将点((1 μ/4)μ×μ/4, 0)和点(μ/4, 1)代入公式，可得：

化简得：

则该公式得证。

④ 利用Logistic映射进行迭代时，初值不要取0、1、1/μ、1 1/μ这几个值，因为它们是不动点。

此外，通过变量替换，Logistic映射还可以变为以下形式：

其中， 1≤x≤1，μ为控制参数，0<μ≤2。当μ取大于等于1.4011小于等于 2 时，系统进入混沌状态。