12.1.3  混沌的度量与判定（2）

对于某些几何对象，其维数D是分数，这样的几何体称为分形。一个典型的分形例子是Cantor集。取[0, 1]线段，三等分后舍去中段，再对剩下的两端各三等分，同样舍去相应的中段，如此无穷重复下去，最终剩下的点集称为Cantor集。这样的点有无穷多个，但又处处稀疏，它的维数如何计算呢？取线段[0, 1/3]，把尺寸放大s=3倍，只能得到[0, 1/3]和[2/3, 1]两个与原来相当的对象，于是有：

除个别奇怪吸引子的维数接近整数外，大部分奇怪吸引子都具有分数维数。它是表征奇怪吸引子这种具有自相似结构特征的指标之一。分形维数的定义有很多，常见的有Hausdorff维数、Lyapunov维数与盒维数等。

3. 测度熵

熵是信息论中最常用的参数，它代表了人们对信息或系统的未知程度。在信息论中，熵被定义为：

其中，KB为大于零的常数，Pi只是系统处于第i种状态的概率，熵S是系统无序程度的度量。根据香浓信息论，只要S>0，则系统总存在一些无法认识的方面。

运动熵可用于混沌程度的识别及其混沌程度的整体度量。混沌运动的初始敏感性，使得相空间中相邻的相轨道以指数速率分离，初始条件包含的信息会在混沌运动过程中逐渐丢失。另一方面，如果两个初始条件充分靠近且不能靠测量来区分，但随着时间的演化，它们之间的距离按指数速率增大，使这两条开始被认为"相同的"轨迹最终能区分开来。从这个意义上，混沌运动产生信息。将所有时间的信息产生率做指数平均，即得到Kolmogorov熵。

考虑一个n维的动力系统，将它的相空间分割为一个个边长为ε的n维立方体盒子，对于状态空间的一个吸引子和一条落在吸引域中的轨道x(t)，取时间间隔为一个很小量τ，令P(i0, i2,  , id)表示起始时刻系统轨道在第i0格子中，t=1时在第i1个格子中， ，t=d时，在第id个格子中的联合概率，则Kolmogorov熵定义为：

由Kolmogorov熵的取值可以判断系统运动的无规则运动程度，它代表了信息的平均丢失率。对于确定性系统的规则运动（包括不动点、极限环、环面），其Kolmogorov熵为0；对于随机运动，其Kolmogorov熵趋于无穷；而对于混沌运动，则Kolmogorov熵是大于零的常数。Kolmogorov熵越大，那么信息的损失速率越快，或者说系统的混沌程度越严重。在一维映射中，Kolmogorov熵恰好等于Lyapunov指数，对于高维系统，Kolmogorov熵为所有正的Lyapunov指数的和。从上述Kolmogorov熵的定义和分析可以看出，Kolmogorov熵是系统中信号不可预测性的一个量度，Kolmogorov熵越大，则系统的随机性越强。

4. 自功率谱密度

谱分析是研究振动和混沌的一个重要手段。对于类随机的混沌信号，不满足绝对可积的条件，不能用Fourier变换求出其频谱。为了表示混沌信号的频域特征，只能用维纳-辛钦定理，求其自相关函数Rxx(τ)的Fourier变换，根据所得的自功率谱密度函数S xx(f)来分析混沌的频域特征。

根据Fourier分析，任何周期为T的周期运动x(t)都可以展成Fourier级数，其系数与相应的频率的关系为离散的分离谱，而非周期运动的频率是连续谱。对于随机信号的样本函数，x(t)的功率谱密度函数定义为：

其中，Rx(τ)为x(τ)的自相关函数，即

τ为采样间隔。

对周期运动来说，功率谱只在基频和其倍频出现尖峰。与准周期对应的功率谱是几个不可约的基频及由它们叠加所在处的尖峰。不同带宽的噪声的自功率谱的带宽表示了噪声的频带宽窄的特点。发生倍周期分岔时，功率谱中将出现分频及其倍频，在这些频率点上功率谱图也都具有尖峰；混沌运动的功率谱为连续谱，即出现噪声背景和宽峰。由于Rx(τ)与Sx(ω)互为Fourier正、反变换，它表示序列相关程度。因此在规则运动情况下，表示运动的函数序列的自相关函数Rx(τ)具有常数数值和周期振荡，在混沌运动情况下，Rx(τ)将指数迅速减到零。