12.1.3  混沌的度量与判定（1）

作为非线性动力系统，混沌运动具有很多复杂的特性。本小节从研究描述混沌系统深刻物理内涵的特征量开始，以定量的角度刻画混沌，并从这些物理量上给出混沌的判定准则。

1. Lyapunov指数

Lyapunov指数是从定量角度描述混沌系统的量，它沿某一方向取值的正负和大小表示长时间系统在吸引子中相邻轨道沿该方向平均发散或收敛的快慢程度。因此，最大Lyapunov指数λmax决定轨道覆盖整个吸引子的快慢，最小Lyapunov指数λmin则决定轨道收敛的快慢，而所有Lyapunov指数λ之和∑λi可以认为是大体上表征轨道平均发散的快慢。任何吸引子必定有一个Lyapunov指数λ是负的；而对于混沌，必定有一个Lyapunov指数λ是正的。因此，人们只要在计算中得知吸引子中有一个正的Lyapunov指数，即使不知道它的具体大小，也可以马上判定它是奇怪吸引子，而运动是混沌的。

对于混沌动力系统，λ的大小与系统的混沌程度有关。假设系统从相空间中某半径足够小的超球开始演变，则第i个Lyapunov指数定义为：

式中，ri(t)为t时刻按长度排在第i位的椭圆轴的长度，ri(0)为初始球的半径。换言之，在平均的意义下，随着时间的演变，小球的半径会做出如下的改变：

对于一维非线性系统，Lyapunov指数反映了两个靠近的初值所产生的混沌轨道随着时间的推移，即经过多次迭代后的平均发散程度。若设两轨道初始相距d0，经过n次迭代后，两轨道相距为dn = deλn，则定义λ为Lyapunov指数。显然，若λ<0，则系统处于稳定状态，即两轨道靠拢；若λ>0，则系统处于不稳定的混沌状态。

在一维动力系统xn+1 = F(xn)中，初始两点迭代后是相互分离的，还是靠拢的，关键取决于导数λ的值。若λ>1，则迭代使得两点分开；若λ<1，则迭代使得两点靠拢。但是在不断的迭代过程中，λ的值也随之变化，使得时而分离时而靠拢。为了从整体上描述相邻的两种状态分离的情况，必须对时间取平均，因此Lyapunov指数可以写为：

对于连续时间系统的Lyapunov指数，设X=[x1, x2,  , xn]T∈Rn为n维相空间上一个向量，F=[f1, f2,  , fn]T是一个含有非线性函数的向量函数，X0=[x10, x20,  , xn0]T为系统相空间中的一个起始点，系统可用下面的微分方程来表示，X=f(X)，设f′(x)表示f的Jacobi矩阵，即

在初值X0处得一阶线性化近似值为：

求解上式得解为：

从上式可以看出，Lyapunov指数反映了系统中各变量在时间演变过程中伸缩变化的平均率。若将δX0作为相空间中一个小的N维超椭球体，则可以将δX作为t时刻演变后的超椭球体，其各方向主轴的长度由向量δX=[δx1, δx2,  , δxn]T给出。Lyapunov指数谱中的λi(i = 1, 2,  , N)和表征了吸引子体积的变化。对于耗散系统，∑λn<0；对于Hamilton系统，则∑λn=0。不管是何种系统，若有Lyapunov指数大于零，则系统必定存在混沌现象，当出现两个或两个以上Lyapunov指数大于零时，则系统处于超混沌状态。Lyapunov指数小于零的方向运动稳定，对初始值不敏感；Lyapunov指数等于零的方向对应稳定边界（分岔点）；Lyapunov指数大于零的方向轨道以指数率分离，对初始值极端敏感。因此具有正的Lyapunov指数可作为混沌行为的判据。

2. 分形维数

分形理论是描述混沌信号的另一种手段。分形是没有特征长度但具有一定意义的自相似图形的总称，最初由Mandelbrot在研究诸如弯曲的海岸线等不规则线时提出，之后人们发现自然界普遍存在分形现象。分形最主要的特性是自相似性，即局部与整体存在某种相似。

混沌的奇怪吸引子具有不同于通常几何形状的无限层次的自相似结构。这种几何结构可用分形维数来描述，因此可以通过计算奇怪吸引子的空间维数来研究它的几何性质。

分形维数是分析几何对象复杂性程度的一个重要特征量。由于复杂运动行为的类型很多，需要用不同的维数来定义，从不同的角度来刻画它的不规则性。在传统的欧氏几何中，点是零维的，线是一维的，面是二维的，体是三维的。把这些几何对象做拉伸、压缩、扭曲等变换，都不改变其维数。这种维数称为拓扑维，记为d。一般来说，如果在d维空间中考虑一个d维的几何对象，把每个方向的尺寸都放大s倍，就会得到N=sd倍原来的几何对象。例如一个立方体，把尺寸的每个方向都放大s倍，就会得到一个大的立方体，它相当于s3个原来的立方体，于是可如下定义维数：